ぼやけるのは仕方ないでしょうね。

Illustratorで300%ぐらいに拡大したものをGIFやJPGで保存してみたら少しは違うかも？

アンチエイリアスを外せばぼやけないのでは？

※ただし、解像度が低いとカクカクになりますが……

ロゴ使用のサイズが幾種類かあるとき、一番大きなサイズに合わせて画像書き出ししないと駄目ですよ。
縮小使用はまだリサイズに耐えることできるでしょうが、拡大は×です。

あと、Photoshopのような画像編集ソフトがなければしょうがないですが、もしお使いなら、書き出したロゴを見栄え良く補正してからJPGなりGIFにweb保存等するのがいいと思います。

画像の鮮明さはGIFに変換しても、ファイルサイズと比例するのですね。
ありがとうございました。