直接の回答・解決にはなりませんが、私は宛名面は葉書ソフト（筆まめでは有りませんが）を使い、裏面（通信面）は直接Illustratorで出力しています。

用紙サイズを葉書に合わせ（100X145）そのまま。
往復はがきなら（200X145）にして、その半分だけ。

プリンタの機能に依存しますが、フチなし全面印刷もできます。

…と言うことで、はなさんのトラブルの原因は分からないのですが、私も興味あります。
DTP関連の方で、分かる方のフォローをお待ちします。

JPGかPNGで保存したファイルをお使いになったとすれば、解像度の問題だと思います。

イラストレーターで保存する時、「ファイル」＞「書き出し」＞「ファイルの種類」から
保存する種類を選んで保存をクリックすると、たとえば、PNGならPNGオプションで解像度が選べます。標準か高解像度を選んで試してください。

さらに、下のほうにあるアンチエイリアスからオブジェクトに応じて文字に最適かアートに最適かを選択します。そのファイルを「筆まめ」画面に直接ドラッグすると配置されます。

　往復葉書の返信面の文章を、見本どおりに作って欲しいという希望でした。いろいろなサイズの文字を使って隙間なく書き込まれた複雑な文面だったので、イラストレーターを使ってつくりました。保存形式はイラストレーターです。それをコピーして「筆まめ」の往復葉書返信面に貼り付けたものが印刷トラブルを起こしたということです。文面は文字だけで画像はありません。
Pelicanさん有難うございます。
アドバイスを頂けて嬉しいのですが、私のレベルではちょっと判りません。いちおう文面をいれないで宛名や差出人のところだけ「筆まめ」で印刷した後、亭主様の方法で文面だけを別に印刷しました。

　Pelicanさん　出来ました、出来ましたっ!!!!!
自分では判らないので、詳しい人に見てもらいながら、Pelicanさんのおっしゃるとおりに操作しました。PNGオプションで高解像度を選び、アンチェリアスからの選択肢はありませんでしたが、綺麗に印刷することが出来ました。筆まめの画面にドラッグするだけで貼り付くところが凄いです。有難うございました。大変嬉しいです。亭主様、Pelican様感謝です。