相手先でどのように使用するのか聞いた方が良いと思いますが...
そのままEPSにするだけでいいのか(品質は今のJPEG以下だと思って下さい)?
拡大や変形をしたいのでトレースしてパスにしたほうが良いのか?

お返事ありがとうございます。EPSに変更してそのままおくりたいのですが、illstratorの知識がまったくなく、どうしたらよいのか１からわからない状態で、お手数ですが、もしよろしかったら教えてください。EPSについてのソフトが必要ですか？？

そのロゴは何のアプリで作られているんですか？
Photoshopオンリーなら、保存時のファイル形式をEPSにするしかないでしょう。
Illustratorで作ってるなら、保存時のファイル形式をIllustratorEPSにします。

PhotoshopでJPEGで作ったロゴをIllustratorEPSにするとなると、通りすがりさんが言うように、新たに作り直さなければ無理じゃないですか？

質問されてる方が、PhotoshopやIllustratorをお持ちどころか
どんなソフトかをご存じないような気がするんですが（汗

そのロゴを元々作られた方がおられるのであれば、
データを頂けるようにお願いした方が良いと思います。
（きちんとした所なら、印刷前提で作られていると思います）

もともと解像度の低い画像データしかないのであれば、
出来が悪くなることを前提に今のデータをそのまま使ってもらうか、
もしくは別途料金でトレースしてもらうようにお願いするしかないような。