フォントはOSの受け持ちです。
通常、C:\WINDOWS\Fontsフォルダに入っていますよね。

今回PCを買い替え、OSも、それに伴ってFontsフォルダの中身も変わった訳で、その中に以前使っていたフォントが一部含まれていなかった、と言うことでしょう。

前のPCが手元にあるのなら、LAN経由、或いはFD経由などで、当該フォントを新しいPCの、上記フォルダにコピーして下さい。
単に、ドラッグ＆ドロップでフォントアイコンを放り込むだけです。

そうすれば、そのPC上のアプリケーションで、共通に使えます。

>以前持っていたPCでも何度か再インストールしたことがあるのですが、このようなエラーは起こりませんでした。

これはおそらくIllustratorのことでしょう？
アプリをいじるだけではフォントに影響はしません。

＞今回出たのは『DHHS Gothic-W5-WINP-RKS J-H』のフォントが所在不明とエラーが出ました。

　これは、何かのアプリケーションのおまけと思います。
　ただ、ダイナのおまけフォントはトラブルの元になりやすので、
気をつけてくださいね。

参考になりました。
遅くなりましたがありがとうございます。