別に詳しくはないですが、カラーマネジメントを行って、モニタとプリンタの色を合わせたいのですよね。
http://www.i1color.jp/
をご覧になってください。

>エプソンのPX-6500（RIPモデル）で出力を試みていますが、色味がどうもおかしいです（>＿<）
色々調べたところ、「編集」-「カラー設定」の色に関する設定と、「ファイル」-「プリント」内カラーマネジメント設定と、プリンタドライバ内のカラー設定がきちんとかみあっていないと、重複したカラー設定が行われ、思った色が出ないことがわかりました。

リッパー付きプリンタということでDTPユースと解釈していいでしょうか。
プリンタもリップも違うので、確たることは言えませんが、EPSONの違う機種とリップで苦労した経験から参考まで。

基本としてはソフト側でカラーマネージできるillustratorのような場合、こちらでちゃんとした設定をやったらプリンタドライバ側で二重に設定は行わないのが原則ですが、確かに初めの頃のEPSONのマニュアルも不明確な記述で、対応のサポーターの返事もあいまいでしたが、今の新しいマニュアルもそうなのでしょうか。
私の場合SOHOなので、サポーターの言う通りではマッチングしなかったので自分でいろいろセッティングを試して、ようやく印刷物に近似した組合せ（この際モニタ表示は信用しませんでした）をひねりだしました。

スレ主さんのように会社の設備であれば、納入業者にセッティングをしてもらうのが一番の方法かと思います。
それとモニタのキャリブレーションはどうなっていますか？　モニタに見えている色にプリント結果を合わせるのではなく、プリント結果にモニタを合わせるのが正解です。もっと突き詰めれば、本印刷結果にプリント結果を合わせるのがDTPの基本で、モニタも印刷結果と同じように見えるように合わせ込むのがスジです。
プリンタだけではなくモニタ、ソフト、プリンタがきちんとトータルにマッチングされていないと、どうにもなりません。その辺を掲示板で語るには重すぎます、リンクしたような専門書を参考にしてください。

昔、ゼロックスのエンジニアしてた者です

エプソンさんのインクジェットプリンターは蛍光剤が混ざってるみたいでカラーコピーでスキャナーすると色合いが変わります

蛍光ペンのピンクをカラーコピーすると紫になるのと同じです

イラストレーター側をcymkにするとかありますが根本的に他のプリンターを使ってみてください

＞現在、モニタではオレンジ色っぽく表示されている文字が、印刷すると赤で出力される状況
です。なんとか画面のまま、オレンジ色を保ったまま印刷させることは不可能でしょうか？

そもそも、その画面表示というのが「どこまで信用できるものなのか」。
つまり、モニタの方が「正しい」とお考えのようですが、
その根拠が全く示されていません。