新しいOSを入れられるほどのスペックのマシンなの？

> MacのOS10.2.8を使用しています。
> YouTubeが見れません。
> Flash_Playerをインストールもできません。
> OSを新しくしない限りYouTubeは見れないのでしょうか。

OSをあげないと無理です。

自分10.2.8ですが見られますよ（Safariです）
現行のFlashが10.2.8に対応してないのでは？
10.2.8に対応したインストーラーが手に入れば見られると思いますが…

この質問DTPと関係ないですね。