トレース

Illustratorのオブジェクトは、パスとしての繋がりを持っています（一寸不正確ですが）。
ですからハサミやナイフで仮に切断したとしても、それでキレイに分割できるものでは有りません。

これはIllustratorの「パス」と言うものの性格を理解するしかないのですが、
http://Illustrator-ok.com/b_koza/e_path/path1/koza_top.html
この辺を読んでおいて下さい。

Illustratorでは、不要な領域を隠す・非表示にする「クリッピングマスク」。
或いは印刷やWeb書き出しに際し、同じように不要な領域を切り捨てる「トンボ」等で対応します。

何れもこのサイトで解説して有ります。

「二分割」するには、上記操作を逆に施した、二つのファイルを用意するしかないのでは………。