gifファイルはビットマップ画像ですので、
Illustratorでどうこうってのは基本的にできませんが(^^;

一部だけ表示ということだと、
クリッピングマスクをかけるくらいしかないでしょう。

あさうすさん、ご指摘のようにIllustratorではクリッピングマスクで、と言うことしかないでしょうね。

ただGIFファイルを切り取る、と言うことからすると、どうもWeb用画像として使うのではないか、とも察せられます。

そうであれば、画像に「トンボ」を設定して「Web用に書き出し」をすれば可能です。
方法は画像の前面に長方形を配置し「オブジェクト→トンボ→作成」です。
クリッピングマスクだけだと、Web書き出しした場合、マスクで非表示になった領域まで白く書き出されてしまいますね。