私の（このサイトの）場合で説明します。
2つの方法をとっています。ただ、バージョン8と10では事情が少し異なります。

方向線の表示は、パスのアンカーポイントを「ダイレクト選択ツール」でクリックすると表示されます。
どのポイントをクリックするかで、表示される方向線が変わってきます。
この機能は、バージョン8でも10でも共通です。

パスの全ての方向線を表示するには、
方向線が少なくとも1本表示されている状態で「選択→オブジェクト→方向線のハンドル」で、そのパスの全ての方向線が表示されます。
ただしこの機能はバージョン10からで、8、9で同じことが他の方法でできるかどうか、確認していません。

次に表示されている画面のスクリーンキャプチャをとります。
Winなら、キーボードの「PrintScreen」キー、Macでも当然同じ機能が有る筈です。
「ファイル→データの書き出し」では方向線やアンカーポイントは得られません。
後は、Illustratorの新規画面や、他のペイントソフトにペースト、必要な領域だけ切り出して、Gif書き出しすれば良い訳です。

上記の方法でも必要な画像が得られない場合、例えばバージョン8での表示されない方向線や、ペンツール、選択ツールなどのツール画像など（ツールは、スクリーンキャプチャではコピーできません）。
この場合、しょうがないので実際に描きます。
方向線のばあい、細い線分をアンカーポイントに合わせて描き、そのキャプチャをとります。
ツールは、よく使うツール群を予め作成しておき、呼び出して必要な場所に配置する訳です。
描き方は、Illustratorのツールボックスのキャプチャを取り、拡大してそれに合わせて描きます。
手数がかかりますが、こんなサイトを展開している以上しょうがないことですね。

亭主様、早急かつご丁寧なご回答、本当に有り難うございました。
あまりの早さに驚きつつ、早速試してみましたところ、無事に画像作成できました。

「選択→オブジェクト→方向線のハンドル」はできませんが、shiftキーを押しながらクリックしていくことで、全ての方向線を表示しました。

ご親切にツール画像の作成方法まで教えていただき、感謝感激です。大変な努力と手間の積み重ねで、サイトが運営されているのですね。大変勉強になりました。