一度保存して開くと

Photoshop画像を、Illustratorに配置する際、「リンク」になっている為ではないでしょうか

「ファイル/配置」で開かれる「配置」ダイアログの下の方、リンクチェックボックスにチェックを入れると「リンク」、チェックを外すと「埋め込み」なります。

リンクの場合は、元画像とのリンク情報しか持ちません。
元画像に変更が加えられた場合（当然、削除も含む）その変更が反映されます。
また、同じ画像を何箇所も使っている場合、ファイルサイズを少なくするメリットが有ります。

埋め込みにすると、元画像の情報がそのままIllustratorのアートワークに持ち込まれます。
元画像が変更されても、影響を受けません。

位置が変わってしまう現象は分かりませんが、おそらく「埋め込み」で解決するのでは………。

亭主さんありがとうございます。まだまだいっぱい分からない事、知りたい事があります。これからもよろしくお願いします。