下記リンク、「DTP駆け込み寺　掲示板」で私自身が教わったばかりのJavaScriptがありますので参考までに。
http://www.dtptemple.jp/index-keijiban.html

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// 検索／置換設定のクリア（起こしのカギ括弧）
app.findPreferences = NothingEnum.nothing;
app.changePreferences = NothingEnum.nothing;
// 検索条件の設定
app.findPreferences.findText = "「";
// 検索（範囲：カーソルを立ててあるストーリー全体）
var range = app.selection[0].parentStory;
// 検索の実行
var findList = range.search();
// 後ろから置換を実行
for (var i=findList.length-1; i>=0; i--){
with (findList[i]){
contents = String.fromCharCode(0xFE41);
opentypeFeatures = [["aalt",4]];
}
}

// 繰り返し（受けのカギ括弧）
app.findPreferences = NothingEnum.nothing;
app.changePreferences = NothingEnum.nothing;
app.findPreferences.findText = "」";
var range = app.selection[0].parentStory;
var findList = range.search();
for (var i=findList.length-1; i>=0; i--){
with (findList[i]){
contents = String.fromCharCode(0xFE42);
opentypeFeatures = [["aalt",4]];
}
}
//------------------ここまで--------------------

さきほど

＞あ。CID7911ですか。縦組ですね。
＞直上のレスは横組用です。

というレスをしましたが、縦組でも大丈夫でした。

（追記）
起こしの短いカギ括弧を行末禁則に、受けの短いカギ括弧を行頭禁則に加えておかないと、この異体字は禁則が利いてくれないようです。

いきさん、どうもありがとうございます。
せっかく詳しく書いていただけましたが、私はスクリプトのことがぜんぜん分かりません。どこでどうやって置換用スクリプトを入れるか。普通のインデザイン上で置換しかしたことありませんでした。また、色々を勉強いたします。

上記スクリプト部分をエディタにコピペしてファイル名＋拡張子（ js または jsx ）をつけて保存。

Program Files￥Adobe￥Adobe InDesign CS2￥Presets￥Scripts
フォルダに入れます。
　　※フォルダの区切りの￥マークは文字化けするので、この掲示板上では全角で入力しました。

InDesign上でスクリプトパレットを表示すると、パレットに上記の操作で移動したスクリプトのファイル名が表示されるので、目的のテキストフレームに挿入点を入れた状態でパレット上のファイル名をダブルクリック。
以上です。

もともとカギカッコ（「」）が小カギになっているフォントと、合成フォントを組んでしまう、というのでどうでしょう?

>もともとカギカッコ（「」）が小カギになっているフォント
たとえばヒラギノとかですか？
ヒラギノに限らず、未知さんが小カギが標準のフォントをお持ちであれば有効な解決策だとは思います。
ただし、ヒラギノはMacintoshには標準搭載ですが、Windowsだと買わないと…最初からは入っていませんからね。

でも、それがヒントになりました。
SINGとかOTF Editとか、外字で対応するのもアリですよね。

> SINGとかOTF Editとか、
OTEditでした……。

いきさん、ddさん、ありがとうございます。
やり方まで詳しく書いていただいて、本当に心から感謝します。スクリプトの名が表示されたが、パレット上のファイル名をダブルクリックしても、何も反応がありませんでした。再度、挑戦してみます。
ddさんの外字で対応するのも選択しの一つとして、検討いたします。

誤解があるようなので。
ddさんの提案はあくまで既存フォントを組み合わせる合成フォントの提案です。外字ではありません。

あと、スクリプトのこの部分

// 検索（範囲：カーソルを立ててあるストーリー全体）
var range = app.selection[0].parentStory;

によって、カーソルを挿入したフレームだけを置換対象にするようにしています。
なので、先に私がレスをしたように

> 目的のテキストフレームに挿入点を入れた状態でパレット上のファイル名をダブルクリック。

挿入点を入れてからダブルクリックすることをお忘れなく。

いきさん、いろいろお世話になりました、ありがとうございました。
縦組がまたできませんが、横組だとうまくいきます。
また色々教えてください。
よろしくお願いします。

ご報告します。
縦組もできました。すごく嬉しいです。
ありがとうございました。

> 縦組もできました。
よかったですね。一時的なものなのかな？
こちらの環境では初回のテストから縦組でもOKだったので、もしダメなら何が原因なのか……と悩むところでした。