InDesign上でJavaScriptでもできると思いますが、
テキスト上でやるならこんな感じだと思います。

#! /usr/bin/ruby -Ku
while line = ARGF.gets
   line.scan(/『.*?』/) {|m|
       puts m
   }
end

こんにちは。
私ならテキスト書き出ししておいてRubyかな。

line.gsub!(/.*?(『.*?』)/) {"#{$1}"}
line.sub!(/^([^『』]+$)/) {""}

一応これでできるけど、なんかスマートじゃないかも。
--------------------------------------------------
以下追記
私、入力するの遅かったようですね。
せうぞーさんの方がスマートです（現実でもｗ）

せうぞー様、いき様
早々にありがとうございます。

正規表現、perlと書いたものの全く無知でして

#! /usr/bin/ruby -Ku
while line = ARGF.gets
line.scan(/『.*?』/) {|m|
puts m
}
end

や

line.gsub!(/.*?(『.*?』)/) {"#{$1}"}
line.sub!(/^([^『』]+$)/) {""}

はどのように使用したら良いのでしょうか？
よろしくお願いします。

rubyはインストールされていますか？
ターミナル（winだとDos窓って言うんでしたっけ？）から
$ruby スクリプトファイル 対象ファイル >書き出しファイル
です。
日本語クリーンなshellなら、ワンライナーで
$ ruby -ne 'puts $_.scan(/『.*?』/)' hoge.txt >fuga.txt
なんてしてもかまいません。

>>いきさん。
>現実でもｗ
現実は、そうでもないんですよ^^

何度もすいません。
rubyは、
http://www.ruby-lang.org/ja/downloads/
ここからダウンロード出来るものですか？

>winだとDos窓
コマンドプロンプトでしょうか？

ヒロさん、そうです。
そのページにインストールガイドもありますので、後はそちらをご参照ください。

>>winだとDos窓
>コマンドプロンプトでしょうか？
ええ、昔のWindowsではDos窓と言ってました＾＾

少しだけ情報追加しときますね。
※ここはRubyそのもののサポートをする場所ではありませんので、なるべくご自身でがんばってくださいね。

おすすめはひとつ前の安定版、Ver.1.8.7です。
あと、せうぞーさんのレスにあったスクリプトも、私のスクリプトもどきも、いずれもRubyです。Perlではありません。
私の「もどき」は省略して書いてあるので、全文を書いておきますね。

#!C:/Program Files/Activeruby-1.8/bin/ruby -Ku
while line = ARGF.gets
line.gsub!(/.*?(『.*?』)/) {"#{$1}"}
line.sub!(/^([^『』]+$)/) {""}
print line
end


1行目は、Rubyをインストールしたパスでして、行末の
-Ku
は文字コードにunicodeを指定しています。

すんごいべたなやりかたですが
一旦全部改行をとってしまって

InDesignのGREPで『』以外の部分
すなわち』から『までを改行に置き換えるというのはいかがでしょう？

検索文字列：』.*?『

置換文字列：』『

たけうちとおるさん＞＞
こちらでははじめまして。

えーと、そのやり方もいいんですが、
・行中の『よりも前
・行中の』よりも後
・『』の出てこない行
を削除してやる必要がありますので１発というわけにはいきませんね。

(?s)』.*?『
単一行モードなら、僅かにストーリーの最初と最後を手作業が入るくらいです。
まあ、それ以上を考えるならスクリプトを組むですね。

> (?s)』.*?『
すげ。
勉強になりましたm(_ _)m
※毎度のことですがｗ

せうぞー様、いき様、たけうちとおる様
ありがとうございます。
まず、Rubyをインストールしてがんばってみたいと思います。
それから、
>InDesignのGREPで・・・
>(?s)』.*?『
も試してみたいと思います。
本当にありがとうございました。
また、お聞きすることがあると思いますがよろしくお願いします。

いきさん
はじめまして。いつもROMですいません。
>・『』の出てこない行
>を削除してやる必要がありますので１発というわけにはいきませんね。
最初に一旦全部改行をとってしまう部分があるので『』の出てこない行は消えてくれると思います。
でも2発ですね。

せうぞーさん
> (?s)』.*?『
あー。それが書きたかったのですが、 (?s)使った事なくて検証できませんでした。。。

> 最初に一旦全部改行をとってしまう部分がある
見落としてました。不注意ですみません（＾＾；

> (?s)』.*?『
の最初の(?s)は、どういう意味ですか？
よろしくお願いします。

>の最初の(?s)は、どういう意味ですか？

ヘルプにも書いてあるんですが...
シングルラインモードです。ひとつのストーリーを単一行とみなします。

こちらもご参考にしてみてください。
http://www.seuzo.jp/st/Other/InDesign_regex.html
より詳しいPDF版ならこちら
http://www.seuzo.jp/indesign/regex_world_in_InDesign_CS3.pdf
#ただし、InDesign CS4では正規表現の実装が変わりましたので、若干違っている部分があります。予めご承知ください。