環境設定>テキスト>文字ツールでフレームをテキストフレームに変換
のあたりだったりしますか？

（z-）様

＞　環境設定>テキスト>文字ツールでフレームをテキストフレームに変換

このチェック項目のあるなし両方で、（文字ツールでなく長方形ツールで、）配置の実験をしましたが、チェックあるなし、どちらでも、テキストボックス状態にはなりませんでした。（文字ツールではないので当たり前なのかもしれませんが。）

ということで、質問をした後で申し訳ないのですが、先日まで長方形ツールで作成したボックスが、どうしてもテキストボックスになってしまっていたのが、今はその症状がなくなっています。
どこか思い当たる設定をいじった訳ではないのですが…、違いがよく分かりません。

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合わせて、一度テキストボックスになってしまったボックスを、ただのボックスに戻す方法があれば教えていただきたいです。
いろいろ申し訳ございません。

テキストフレームになってしまう原因は他の方に任せます…
さしあたり
>一度テキストボックスになってしまったボックスを、ただのボックスに戻す方法

内容の文字を削除（元から空っぽならそのままで）して、
メニュー　オブジェクト>オブジェクトの属性>割り当てなし
で通常の図形オブジェクトになります。

（z-）様

＞メニュー　オブジェクト>オブジェクトの属性>割り当てなし

ありがとうございます。助かります。

CS3のファイルを持ってきているのが原因なのかな？という気もしています。
ズームすると、フレームグリッドとテキストがずれていたりするので…。（文字の、4分の1～3分の1ぐらいが出て見えます。）
計算で確かめると合っているいるのですが。

ありがとうございました。

長方形ツールで描画したオブジェクトを選択した状態で、横/縦組文字ツールでオブジェクトの中をクリックしてませんか？
オブジェクトの外ではカーソルの回りに点線の四角が表示され、オブジェクト内側では点線の丸に変わります。そのときにクリックすると「オブジェクトの属性」が「テキスト」に変わりました。
これ以外のオペレーションで切り替わるとしたら、なんらかのプラグインかスクリプトで属性を切り替えるくらいしか思いつきません。

それと余談ですが、
Mac版だとショートカットが割り当てていないと思いますが、Win版でオブジェクトを選択してaltキー o c t と順に打つとテキストの属性に変わります。

こに様

＞長方形ツールで描画したオブジェクトを選択した状態で、横/縦組文字ツールでオブジェクトの中をクリックしてませんか？

それはありません。
長方形ツールで作成した直後に、テキストボックスになっていました…。

＞なんらかのプラグインかスクリプトで属性を切り替える
＞Mac版だとショートカットが割り当てていないと思いますが、

プラグインやスクリプトはどんな事なのか分からず、私には高度なことなのですが、
いつのまにかATOKが起動していたりするので、キーボード操作などで意図せずそうなってしまっているのかもしれません…（？）。

InDesign CS6 / CCを１年以上使ってますが、
>長方形ツールで作成した直後に、テキストボックスになっていました…。
という現象に遭遇したことはありません。

可能であれば一度環境設定をクリアしてみてはどうでしょうか？
http://helpx.adobe.com/jp/indesign/kb/indesign-preferences-support-file-locations.html
ショートカットキーによる InDesign の環境設定の削除
Mac OS: Shift+Control+Option+Command

こに様

リンクありがとうございます。
参考にさせていただきます。