英数字なら文字記入はできるのでしょうか。
フォントの選び方はわかりますか？
それよりも先にMac版とWin版、どちらをお使いでしょう。
どういう動作をしているとか、もう少し詳しい情報をください。

基本的に日本語入力（カナ漢字変換）は、Illustratorなど、個々のアプリの機能でなく、OSの「日本語インプットメソッド」、例えばWinであれば、MS-IMEとかAtokとかの機能です。

この「入力モード」設定で、「かな入力」になっていますか。
Win環境で、MS-IMEの場合、切り替えは「半角/全角」キーです。

或いはこの問題はIllustratorだけですか。他のアプリでは問題ないのですか。