あさうすさん、ご指摘のように
Illustratorではクリッピング
マスクで、と言うことしかないでしょうね。
ただ
GIFファイルを切り取る、と言うことからすると、どうもWeb用画像として使うのではないか、とも察せられます。
そうであれば、画像に「
トンボ」を設定して「Web用に書き出し」をすれば可能です。
方法は画像の前面に長方形を配置し「オブジェクト→
トンボ→作成」です。
クリッピング
マスクだけだと、Web書き出しした場合、
マスクで非表示になった領域まで白く書き出されてしまいますね。